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文章目录
  1. 1. 扩展欧几里德定理
  2. 2. 对欧几里德定理的理解
  3. 3. C++实现
  4. 4. 感谢

扩展欧几里德定理


  对于不完全为 0 的整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么一定存在整
数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。

对欧几里德定理的理解


设 a>b。

1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

2,ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;

根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

上面的思想是以递归定义的,因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0,所以递归可以结束。

C++实现

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#include <cstdio>
using namespace std;
int x, y, q;
void extend_Euclid(int a, int b)
{

if( b == 0 )
{
x = 1;
y = 0;
q = a;
}
else
{
extend_Euclid(b, a % b);
int temp = x;
x = y;
y = temp - a / b * y;
}
}
int main(void)
{

int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
if(a < b)
{
int t = a;
a = b;
b = t;
}
extend_Euclid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n", q, x, a, y, b);
return 0;
}

感谢

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